Lógica Proposicional IV

ESQUEMAS MOLECULARES

• LA EQUIVALENCIA: Dos fórmulas (esquemas moleculares) A y B son equivalentes cuando unidos por el bicondicional “↔” el resultado es una tautología.

• LA IMPLICACIÓN: Una fórmula “A” implica a “B”, cuando unidos por el condicional “→”, siendo “A” antecedente y “B” consecuente, el resultado es una tautología.

• Un esquema molecular es TAUTOLÓGICO cuando los valores de su operador principal, son todos verdaderos.

• Un esquema molecular es CONTRADICTORIO cuando el resultado de su operador principal, todos los valores son falsos.

• Un es esquema molecular es CONSISTENTE cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad.

EJERCICIOS.

Evaluar los esquemas siguientes:

1. [p Λ (p → q)] → p

2. ~ (p v q) Λ q

3. (p → q) Λ q

4.  (~ p Λ q) → (~ p v q)

5. (p Λ  ~ q) ↔ (~ p v q)

6. ~ (~ p v ~ q) ∆  (q v ~ p)

7. [~ (p ↔ q) Λ r] → [~ q v ~ r]

8. Dados los esquemas: A =  (~ p Λ q) v ~ r   y B = ~ p ↔ (q v ~ r). ¿El esquema  “A” implica al esquema “B”?

9. Dados los esquemas: C = (p ↔ ~ q) Λ r    y

D = (p ∆ q) v (~ p Λ r). ¿El esquema “C” implica  al esquema “D”?

10. Dados los esquemas: A = (~p → ~ q) Λ ~ r y B = ~ r Λ (p v ~ q). ¿El esquema “A” es equivalente al esquema “B”?

11. Dados los esquemas: C = (p ∆ ~ q) → ~ r y D = ~ p v (r → q). ¿El esquema “C” es equivalente al esquema “D”?

Lógica Proposicional III

LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA. Es la proposición compuesta formada por dos proposiciones simples unidas por la “o” cuyo símbolo es “v”. Se simboliza por:

                p v q: se lee “p o q”

Ejemplo:

Yesy canta o baila.

         p             q

                p v q

Tabla de valores de verdad de la Disyunción Débil o Inclusiva.

                P             q             p v q

                V             V                V

                V             F                V

                F             V                V

                F             F                F

Conclusión: La disyunción débil es falsa cuando las dos componentes son falsas; en los demás casos es verdadera. Además si ambas componentes son verdaderas, la disyunción débil es verdadera, por esto se llama disyunción inclusiva.

DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA. Es la proposición compuesta formada por dos proposiciones simples unidas por “O…. o….” cuyo símbolo es “∆”, también     o ≡. Se simboliza por:

p ∆ q: se lee: “O… o…”; “O bien… o bien”

Ejemplo:

O 29 es un número primo o es un número compuesto.

Simbolización:

29 es un número primo:                    p

29 es un número compuesto:          q

                p ∆ q

Tabla de valores de verdad de la Disyunción Fuerte o Exclusiva.

                P             q             p ∆ q

                V             V                F

                V             F                V

                F             V                V

                F             F                F

Conclusión: La disyunción fuerte es verdadera cuando sólo una de las componentes es verdadera; en los demás casos es falsa. Además si ambas componentes son verdaderas, la disyunción fuerte es falsa, por esto se llama disyunción exclusiva.

EL CONDICIONAL. Es la relación de dos proposiciones mediante el conectivo:

                “Si………, entonces……….”

                          p                              q

cuyo símbolo es: “→”  o “   ”.

L a proposición “p” se llama antecedente (hipótesis) y la proposición “q” se llama consecuente (conclusión). Ejemplo:

* Si ahorro mucho dinero, entonces podré comprarme un auto.

Simbolización:

Ahorro mucho dinero:       p

                                                                p → q

Podré comprarme un auto: q

* Si 2 x 3 = 5, entonces 16 + 4 = 20

Simbolización:

2 x 3 = 5:              p

                                               p → q

16 + 4 = 20:          q

NOTA.

a)       Otras formas de presentarse son: p por consiguiente q, p luego q, p de manera que q, p de ahí que q, etc.

b)       También son expresiones condicionales “ya que”, “puesto que”, “porque”, “si”, “siempre que”, “en vista de que”, etc.

Después de cada uno de ellos se ubica el antecedente. Ejemplos:

* Pedro será el ganador si se prepara bien

Simbolización:

Pedro será el ganador: p

Pedro se prepara bien: q

Pedro será el ganador si se prepara bien

          Consecuente              antecedente

                               q → p

* 5700 es divisible por 4 puesto que termina en dos ceros.       q → p

 * 426 es divisible por 3 por que la suma de sus cifras es múltiplo de 3. q → p

Tabla de Valores de Verdad del Condicional.

                P             q             p → q

                V             V                V

                V             F                F

                F             V                V

                F             F                V

Conclusión: El condicional es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en los demás casos es verdadero.

EL BICONDICIONAL. Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo “Si y sólo si” que se simboliza por: ↔ o ≡. Ejemplos:

* m² = 4 si y sólo si m = 2 ó m = -2: p ↔ q

        p                                     q

* x² < 9 si y sólo si -3 < x < 3:          p ↔ q

       p                                q

Tabla de Valores de Verdad del Bicondicional.

                P             q             p ↔ q

                V             V                V

                V             F                F

                F             V                F

                F             F                V

Conclusión: El bicondicional es verdadero cuando las dos componentes tienen igual valor de verdad; en los demás casos es falsa.

LA NEGACIÓN. Dada una proposición “p”, la negación de “p” es otra proposición que se denota por “~p” y se lee: “no p” o “no es cierto que p”.

                La negación (no), cumple la función de negar una afirmación y de afirmar una negación.

Su tabla de verdad es:

                P             ~q

                V               F

                F             V

Observación: Cuando se niega a una proposición compuesta se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición. Ejemplos:

* “No es el caso que los perros ladren y muerdan”

Tenemos:

p: los perros ladran

                                               ~ (p Λ q)

q: los perros muerden

* Es falso que si una bicicleta es de marca no es barata:         ~ (p →~ q)

Lógica Proposicional II

CONECTIVOS LÓGICOS. Son símbolos que enlazan proposiciones simples sin formar parte de ellos. Dichos símbolos también toman el nombre de operadores.

Los conectores lógicos que usaremos son:

• La conjunción (y) : Λ
• La disyunción débil (o) : V
• La condicional (si, entonces) :
• La bicondicional (si y sólo si) :  ↔
• La negación (no) : ~
• La disyunción fuerte (o, o) : ∆

PROPOSICIONES Y VALORES DE VERDAD.

a) Una proposición “p” puede ser verdadera  o falsa:               p

                V

                F

b) Si se trata de dos proposiciones, cada uno por separado puede ser verdadera o falsa.

                               p    q

                               V   V

                               F    F

Pero si las relacionamos tendremos lo siguiente:

* Si “p” es V, entonces “q” puede ser  V o F; esto da lugar a dos filas de arreglos:

                               p    q

                               V   V

                               V    F

* Si “p” es F, entonces “q” puede ser  V o F; esto da lugar a dos filas de arreglos, más:

                               p    q

                               V   V

                               V    F

                               F    V

                               F    F

Con lo cual se completa todas las posibilidades de ocurrencia de los valores de verdad cuando se relacionan las proposiciones p y q por medio de un conectivo u operador proposicional.

El análisis realizado se puede representar en un diagrama del árbol.

p                             q   

V = VV

V                            F =  VF

                               V = FV

F                             F  = FF

c) Cuando se trata de tres proposiciones podemos utilizar el diagrama del árbol para obtener todas las posibilidades de ocurrencia, como se observa:

p             q             r

                               V

                V             F

V                            V

                F             F

                               V

                V             F

F                             V

                F             F

PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS.

LA CONJUNCIÓN. Es la proposición compuesta formada por dos proposiciones simples unidas por la  “y” cuyo símbolo es  “Λ” o  “·”. Se simboliza por:

“p Λ q”: se lee p y q. Ejemplo: 

* 18 es un número y 71 es un número impar.

                p                                    q

                               p Λ q

* Ricardo y Luis son médicos.

La proposición compuesta se puede expresar así:

Ricardo es médico y Luis es médico.

                p                             q

                               p Λ q

Tabla de valores de verdad de la Conjunción.

Fórmula: 2ⁿ, donde n = número de proposiciones.

                P             q             p Λ q

                V             V                V

                V             F                F

                F             V                F

                F             F                F

Conclusión: La conjunción es verdadera cuando las componentes son verdaderas; en los demás casos es falsa. Ejemplo:

17 es un número primo y 5 es menor que 12

                V                      V                   V

NOTA. Las palabras: pero, además, aunque, sin embargo, a la vez, no obstante, sino, mas, aún cuando, también, igualmente, tanto… como….,a pesar de, a menos que, etc. Ejemplo:

Los perros son cuadrúpedos, también mamíferos.

p: los perros son cuadrúpedos

                                                               p Λ q

q. los perros son mamíferos.

Lógica Proposicional

ENUNCIADO ABIERTO. Son expresiones que contienen “variables” y que no tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos. También se les conoce con el nombre de función proposicional. Ejemplo:

                “x < 5” Es un enunciado abierto (o función proposicional) porque no podemos afirmar si es V o F; sólo cuando “x” toma un valor numérico se hace V o F.

Así tendremos:

* x = 3              3 < 5……….. (V)

* x = 9              9 < 5………... (F)

PROPOSICIÓN. Es todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o ser falso pero nunca puede ser verdadero y falso a la vez.

Notación. Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p, q, r, s, etc. Llamadas variables proposicionales. Ejemplos:

p: dos más tres es igual a cinco.      (V)

q: cuatro y diez son múltiplos de dos. (V)

r: ocho es menor que tres. (F)

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES.

A) Proposición Simple. Es la proposición que tiene un sujeto y predicado; también se denomina proposición elemental o atómica; se expresa afirmativamente. Por lo tanto existen 2 posibilidades de ser  (V) o (F). Ejemplo:

p: nueve es múltiplo de tres.

q: tres es mayor que dos.

r : tres es menor que ocho.

B) Proposición Compuesta. Es la proposición que está formada por dos o más proposiciones simples, o por la negación de una proposición simple; también recibe el nombre de proposición molecular o coligativa. Para simbolizarlas, además de las variables proposicionales, se usan los conectivos lógicos u operadores proposicionales. 

Aristóteles

Padre fundador de la lógica y la biología

La Lógica

Frecuentemente los términos "lógico" e "ilógico" los utilizaremos para indicar lo que es razonable en contraposición de lo que no es razonable. Evidentemente que estos términos tienen que ver con la lógica.

Pero ¿Qué es la lógica?

No trataremos de definir la lógica porque, de hacerlo, sería circunscribir su dominio o campo de aplicación. Simplemente diremos que la lógica se ocupa de examinar los diversos procedimientos teóricos y experimentales que se utilizan en la adquisición de conocimientos. Por lo tanto, la lógica estudia los procesos del pensamiento para descubrir los elementos racionales que la constituyen y las funciones que los enlazan. Igualmente la lógica indaga las relaciones mutuas y las influencias recíprocas que existen entre el pensamiento y la realidad representada por este pensamiento.

¿Porqué es necesario estudiar lógica?

Es necesario aclarar desde un principio que las operaciones lógicas son practicadas continuamente, especialmente en nuestro lenguaje cotidiano, por todos nosotros en las distintas facetas de nuestro quehacer diario, aun cuando no tengamos plena conciencia de ello. Es decir, la lógica la venimos aprendiendo desde que hemos nacido, ya que esta se encuentra contenida implícitamente en todas las actividades. Sin embargo esta realidad tiene un límite y llega un momento en que necesariamente debemos estudiar lógica para poder razonar con mayor rigor, ya sea en el aprendizaje de un determinado curso, ya sea en el ejercicio de nuestra profesión, ya sea en la solución de un problema o ya sea en la actividad científica.
El conocimiento de la lógica y el adiestramiento en el manejo de sus operaciones nos colocará en una situación de poder actuar con mayor eficacia, de pensar con mas penetración y objetividad y de emprender después por nuestra propia cuenta, la resolución de problemas que nos plantea la vida diaria o la ciencia misma.